sistemas de numeração sõ um conjunto de símbolos e regras utilizadas para a representação de quantidade e números. Vejamos alguns exemplos de sistemas de numeração populares:
- sistema egípcio
os egípcios adotaram 7 símbolos para representar os números. São eles:
| Nome | Hieróglifo | Valor |
|---|---|---|
| Traço vertical | I | 1 |
| Asa/ferradura | ∩ | 10 |
| Rolo de corda | 𓍢 | 100 |
| Flor de lótus | 𓆼 | 1.000 |
| Dedo apontando | |
10.000 |
| Girino (sapo) | |
100.000 |
| Homem com braços erguidos | 𓁨 | 1.000.000 |
caracteristicas:
- cada símbolo poderia ser repetido no máxio nove vezes.
- os números eram determinados pela adição dos números eram determinados pela adição dos números
- a ordem não era relevante
- não havia símbolo que representasse a ausência de quantidade (zero)
exemplos:
2 026 = 𓆼𓆼 ∩∩ IIIIII
1 531 430 = 𓁨
𓆼 𓍢𓍢𓍢 ∩∩∩
𓍢𓍢 ∩∩∩ IIIII = 240 235
- números romanos
Os números eram representados por 7 símbolos, sendo eles:
| Símbolo | Valor |
|---|---|
| I | 1 |
| V | 5 |
| X | 10 |
| L | 50 |
| C | 100 |
| D | 500 |
| M | 1000 |
caracteristicas:
- os símbolos I, X, C e M são os únicos que podem ser repetidos em sequência, e no máximo 3 vezes.
- o símbolo que estiver à direita de outro de maior valor deve ser somado. Exemplo: LX = 50 + 10.
- o símbolo que estiver à esquerda de outro de maior valor deve ser subtraído. Exemplo: XL = 50 - 10.
- ao colocar um traço acima de um ou mais símbolos você multiplica-os por 1 000, dois traços por 1 000 000 e assim por diante.
- não existia nenhum símbolo que representasse a ausência de quantidade (zero)
Exemplos:
2026 = MMXXVI
352 = CCCLII
113 421 = CXII CDXXI
1 531 430 = MDXXXI CDXXX
IV DCXLVII = 4647
- sistema indo arábico / decimal
nosso sistema numérico. Composto por 10 símbolos, chamados algarismos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
é um sistema posicional, ou seja, um mesmo algarismo tem valores diferentes conforme sua posição no número.
no sistema de numeração decimal, os algarismos se organizam em grupos de três, da direita para a esquerda, constituindo as classes. cada classe tem 3 ordens, que são organizadas à partir da unidade, dezena e centena correspondente à sua classe.
| CLASSE | BILHÃO | MILHÃO | MILHAR | UNIDADE | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ORDEM | C | D | U | C | D | U | C | D | U | C | D | U |
| NÚMERO | 1 | 5 | 7 | 4 | 2 | 1 | 6 | 9 | 0 | |||
- valor posicional
observe o algarismo 1 abaixo:
157.421.690
unidade de milhar = 1.000
centena de milhão = 100.000.000
os números podem ter diferentes funções:
contagem: quantidade (ex.: 30 alunos)
medida: data, hora, tamanho, etc. (ex.: 19 de fevereiro)
código: senhas, telefone, etc. (ex.: 99999-9999)
ordem: classificação (ex.: 1º lugar)
quantia: dinheiro (ex.: 10 reais)
esses números são chamados de naturais e podemos representá-los na forma de conjunto ou na reta numérica.
exemplo:
sequência dos números naturais:
O sucessor de um número natural é aquele que vem imediatamente depois dele na sequência. O antecessor é o contrário, sendo o número que vem imediatamente antes dele na sequência.
exemplos:
sucessor do número 18: 19
sucessor do número 100: 99
dois ou mais números maturais que se seguem, ou seja, que vem imediatamente após o outro na sequência são chamados de números consecutivos.
exemplos:
10, 11, 12 ✅
14, 16, 19 ❌
comparação dos números naturais
para comparar ps números, podemos utilizar os seguintes símbolos:
> maior que
< menor que
= igual a
exemplos:
3 > 2
5 < 10
operações com números naturais
adição: usamos adição quando queremos juntar duas ou mais quantidades ou acrescentar uma quantidade a outra.
exemplo: calcule 259 + 68
₁ ₁
2 5 9 1ª parcela
+ 6 8 2ª parcela
- - -
3 2 7 soma total
- propiedades da adição
fechamento: a soma de dois números naturais é sempre outro número natural.
comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.
associativa: podemos associar as parcelas de diferentes maneiras sem alterar a soma.
elemento neutro em uma adição de um número natural com zero o resultado é igual ao número.
subtração: pode ser usada em situações que envolvem as ideias de: tirar uma quantidade de outra, completar quantidades (quanto falta) e comparar (quanto a mais).
exemplo: calcule 259 + 68
⠀⠀³ ¹⁷
3 4 7 minuendo
+ 6 8 2ª parcela
- - -
3 2 7 soma total
- relação fundamental da subtração:
se o minuendo menos o subtraendo é igual ao resto, o subtraendo mais o resto é igual ao minuendo.
a adição e a subtração são operações inversas.
exemplo: se 370 - 120 = 250, 120 + 250 = 370 (prova real)
expressões numéricas com adição e subtração
nas expressões, as operações devem ser efetuadas na ordem que aparecem. no entanto, se aparecem parênteses, colchetes e chaves na expressão, devemos efetuar primeiro as operações dentro deles.
exemplo: calcule as expressões a seguir:
nota: não coloquei todas as expressões passadas na lousa, para salvar tempo. para nao perderes conhecimento, saiba que a ordem sempre será assim:
1. parênteses
2. potenciação e radiciação
3. multiplicação e divisão (da esquerda para a direita)
4. adição e subtração (da esquerda para a direita)